検索フォームのデフォルトは下記のコードです。
<form role="search" action="<{$product_search_url}>" method="GET">
<{$product_search_mode}>
<input type="text" name="keyword">
<input type="submit" value="検索">
</form><{$product_search_mode}>を入れることと、action,method属性の記述が必須になります。